Transponat linjär algebra

•

Matrisaritmetik

Definition av matris

En matris är en rektangulär lista med tal, kallade element. Varje matris har rader och kolonner och dess storlek benämns som (läses "m gånger n"). Här är ett par exempel:

Vidare brukar matriser noteras som heltal (A, B, C etc). Låt matrisen A vara en -matris, och då brukar varje element samt dess id (position i matrisen) noteras som på följande sätt:

Addition och subtraktion

Summering av matriser kan endast ske om de har samma dimensioner och sker elementvis. Låt både och vara ett par -matriser, och att samt att då gäller att:

Här har vi två exempel:

Skalär multiplikation

Låt vara en -matris. Då gäller följande för varje alla vektorer och i och för varje skalär :

Skalär multiplikation med en matris fungerar intuitivt. Låt vara en -matris som summeras gånger. Då gäller att:

och för varje element i gäller att

Matrismultiplikation

För att multiplikationen mellan två matriser ska vara definierad krävs att antalet kolonner hos den vänstra matrisens ska överrensstämma med antalet rader hos den högra matrisen. Det vill säga, resultatmatrisens dimensioner är vänstermatrisens antal rader gånger högermatrisens antal

•

Matriser

Matriser är datahållare. De innehåller information vilket vi önskar manipulera vid olika vis. Alla matriser innehåller en visst antal rader samt kolonner likt beskriverstorleken vid en matris.

När man anger storleken vid en matris skriver man alltid: . Detta innebär att existerar ett modell på ett matris.

Om antalet rader motsvarar antalet kolumner så besitter man enstaka kvadratisk matris: råkar existera en kvadratisk matris.

Matriser samt transponering

Transponering innebär att raderna och kolumnerna i ett matris byter plats. Transponatet till matrisen betecknas . Nedan finner vi en exempel vid hur ett matris samt dess transponat kan titta ut

Addition samt subtraktion

Att addera och subtrahera mellan matriser fungerar vid ett väldigt intuitivt sätt. Den enda förutsättningen existerar att båda matriserna existerar av samma storlek. Både i antalet rader samt kolonner.

Säg för att vi äger matriserna samt som uttrycks av

då kommer additionen samt subtraktionen titta ut

Exercise
Vi besitter matriserna
a) Beräkna
b) Beräkna

Solution
a) Vi utför beräkningarna och får
b) Vi utför beräkningarna vid samma vis som ovan och får

Skalär multiplikation

För för att multiplicera enstaka skalär tillsammans med en matris så kommer

•

Egenvärde, egenvektor och egenrum

Egenvektorer till en kvadratisk matris är de nollskilda vektorer som bibehåller sin riktning efter multiplikation med matrisen. Till varje egenvektor hör en skalningsfaktor, ett egenvärde, med vilken vektorns storlek är ändrad efter matrismultiplikationen.

Ett egenrum för ett egenvärde är det delrum som spänns upp av egenvektorerna som hör till egenvärdet.

Definitioner

[redigera | redigera wikitext]

Låt F vara en linjär avbildning från ett linjärt rumV till samma rum. En vektor u skild från nollvektorn i V sådan att^[1]

för något tal är en egenvektor till F med egenvärdet.

Om F kan framställas som en matrisA är

där matrisen U är en matris av egenvektorer.

Mängden av egenvärden kallas den linjära avbildningens spektrum.

Sekularekvationen

[redigera | redigera wikitext]

Antag en linjär avbildning av n-dimensionella vektorer definierade av en n &#; n-matris A,

eller

där, för varje rad,

Om v är en skalär multipel av w, det vill säga om

då är v en egenvektor till den linjära avbildningen A och skalfaktorn λ är det egenvärde som s